隨(sui)機變量模型和隨(sui)機過程(cheng)模型是(shi)研究香蕉視頻app連接:應力腐蝕概率的常用模型，本章(zhang)重點介紹隨機變量模型。

一、應力(li)-強度干(gan)涉(she)模型

 1942年，Pugsley提出了采用(yong)應力、強(qiang)(qiang)(qiang)度分(fen)(fen)(fen)布函數曲線的(de)(de)(de)干(gan)涉(she)區面(mian)積分(fen)(fen)(fen)析(xi)失效概率的(de)(de)(de)方(fang)法，即應力－強(qiang)(qiang)(qiang)度干(gan)涉(she)模(mo)(mo)型(xing)，該模(mo)(mo)型(xing)在構(gou)件和系統(tong)的(de)(de)(de)可靠性分(fen)(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)得到了廣泛應用(yong)。目(mu)前，已成(cheng)為分(fen)(fen)(fen)析(xi)構(gou)件和系統(tong)失效概率的(de)(de)(de)重要(yao)模(mo)(mo)型(xing)之一。在結構(gou)可靠性分(fen)(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)，應力－強(qiang)(qiang)(qiang)度（S-R)干(gan)涉(she)模(mo)(mo)型(xing)應用(yong)最(zui)廣，模(mo)(mo)型(xing)中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)S和R的(de)(de)(de)含義不(bu)僅僅是力學分(fen)(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)應力和強(qiang)(qiang)(qiang)度，二(er)者具(ju)有更廣泛的(de)(de)(de)范疇。對(dui)于一個系統(tong)而言，S指的(de)(de)(de)是造成(cheng)結構(gou)破(po)壞的(de)(de)(de)所有因素，即推動力；R代表了結構(gou)抵抗(kang)破(po)壞的(de)(de)(de)能力，即阻抗(kang)力。

  應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)是(shi)(shi)一種低(di)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)脆斷(duan)(duan)，是(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)和(he)腐(fu)蝕(shi)兩(liang)種機(ji)理相(xiang)(xiang)互影響的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果。因(yin)此，當(dang)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)還遠低(di)于斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)時就(jiu)能(neng)引起應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)裂(lie)(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)產生(sheng)和(he)擴展。應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)作(zuo)用降低(di)了材(cai)(cai)(cai)(cai)料(liao)的(de)(de)(de)(de)(de)耐腐(fu)蝕(shi)性能(neng)，而腐(fu)蝕(shi)降低(di)了材(cai)(cai)(cai)(cai)料(liao)的(de)(de)(de)(de)(de)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)強(qiang)(qiang)度(du)，兩(liang)者是(shi)(shi)互相(xiang)(xiang)促進的(de)(de)(de)(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)說，機(ji)械力(li)和(he)化(hua)學力(li)的(de)(de)(de)(de)(de)協同作(zuo)用導致(zhi)了裂(lie)(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)擴展，如果只(zhi)有應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)或腐(fu)蝕(shi)單獨作(zuo)用，是(shi)(shi)不會出現應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果。應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)要經過(guo)一定的(de)(de)(de)(de)(de)時間(jian)才能(neng)發生(sheng)，這是(shi)(shi)因(yin)為能(neng)量積(ji)蓄到使材(cai)(cai)(cai)(cai)料(liao)破壞的(de)(de)(de)(de)(de)程度(du)是(shi)(shi)需要時間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)，應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)是(shi)(shi)使材(cai)(cai)(cai)(cai)料(liao)強(qiang)(qiang)度(du)逐漸退化(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)過(guo)程，因(yin)此，我們可以(yi)采用耐久性損傷(shang)模型來描述應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)失效的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)理過(guo)程。由S-R干涉模型的(de)(de)(de)(de)(de)理論可以(yi)寫出結(jie)構的(de)(de)(de)(de)(de)極限狀態方程

  因此，對于失(shi)效概(gai)率的(de)(de)研究(jiu)就轉化(hua)為對強度(du)和(he)應力(li)由(you)于概(gai)率分(fen)(fen)布干涉引起的(de)(de)狀態失(shi)效問題的(de)(de)研究(jiu)。當(dang)fs(s)和(he)fR(r)分(fen)(fen)別表示(shi)應力(li)和(he)強度(du)的(de)(de)概(gai)率密度(du)函數時，圖中兩者重(zhong)疊部(bu)分(fen)(fen)面積反映(ying)了(le)失(shi)效概(gai)率的(de)(de)大小，如(ru)圖6-1所示(shi)。

  假如最初應(ying)力(li)(li)與強(qiang)度(du)是留有(you)充分的(de)(de)(de)安全余量(liang)的(de)(de)(de)，那么經過(guo)一定時(shi)間后(hou)，隨著應(ying)力(li)(li)分布與強(qiang)度(du)分布的(de)(de)(de)交疊，就有(you)失效發(fa)生(sheng)，這種情形可(ke)以(yi)說是耐久(jiu)模型(xing)(xing)的(de)(de)(de)典(dian)型(xing)(xing)例子。根(gen)據應(ying)力(li)(li)－強(qiang)度(du)干涉模型(xing)(xing)不(bu)但能夠(gou)求(qiu)解應(ying)力(li)(li)腐蝕(shi)失效概率(lv)(lv)，還可(ke)以(yi)分析(xi)應(ying)力(li)(li)腐蝕(shi)不(bu)同(tong)階段(duan)的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)情況，如裂紋的(de)(de)(de)萌生(sheng)概率(lv)(lv)、裂紋的(de)(de)(de)擴(kuo)展(zhan)概率(lv)(lv)等(deng)。

  當材料(liao)發生腐(fu)蝕(shi)后，隨著(zhu)時(shi)(shi)間的(de)(de)推(tui)移，材料(liao)抵抗破(po)壞的(de)(de)能(neng)力降低(di)，而(er)腐(fu)蝕(shi)環境很可(ke)能(neng)變(bian)(bian)得(de)(de)更(geng)加苛刻。例如應力腐(fu)蝕(shi)，隨著(zhu)裂(lie)紋(wen)的(de)(de)擴展(zhan)，材料(liao)強(qiang)度(du)(du)降低(di)、裂(lie)紋(wen)尖端應力集中(zhong)區域增(zeng)大(da)(da)，局部(bu)存在侵蝕(shi)性(xing)離子的(de)(de)富集，使得(de)(de)廣義應力變(bian)(bian)大(da)(da)而(er)強(qiang)度(du)(du)降低(di)，此(ci)時(shi)(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)(shi)間有(you)關的(de)(de)變(bian)(bian)量，很顯然，概(gai)率密度(du)(du)函數也著(zhu)時(shi)(shi)間的(de)(de)變(bian)(bian)化(hua)(hua)而(er)變(bian)(bian)化(hua)(hua)。當強(qiang)度(du)(du)隨時(shi)(shi)間發生衰退時(shi)(shi)，強(qiang)度(du)(du)和(he)應力組成的(de)(de)干涉(she)區域隨時(shi)(shi)間變(bian)(bian)化(hua)(hua)會越(yue)來越(yue)大(da)(da)，這(zhe)意味著(zhu)產品可(ke)靠性(xing)在降低(di)。

  大多(duo)數(shu)參數(shu)的(de)(de)不確定性與時間(jian)有關。發生(sheng)應力腐蝕時，構(gou)件所(suo)受的(de)(de)廣義應力一(yi)般是隨(sui)機過(guo)程，應力稱為時間(jian)的(de)(de)函數(shu)，強(qiang)度為一(yi)固定的(de)(de)臨界值(zhi)，如(ru)圖6-2所(suo)示，功能函數(shu)應表示為

二(er)、應力腐(fu)蝕參數的概率分布估計

1. 變量分布類型確定

  采用(yong)S-R模型(xing)(xing)分(fen)(fen)析(xi)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)失效概(gai)率(lv)(lv)時(shi)，第一步是(shi)(shi)確定(ding)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)的(de)“推(tui)動(dong)力(li)”，即S所包含的(de)參數，包括溫度(du)、侵蝕(shi)(shi)性離子濃(nong)度(du)、pH值等(deng)，分(fen)(fen)析(xi)各(ge)參數的(de)分(fen)(fen)布概(gai)型(xing)(xing)。在(zai)進(jin)行(xing)(xing)參數的(de)概(gai)率(lv)(lv)分(fen)(fen)布類(lei)型(xing)(xing)研(yan)究中，一般經過以下步驟：①. 假設(she)隨機變(bian)量(liang)(liang)服(fu)從某一分(fen)(fen)布；②. 在(zai)假設(she)分(fen)(fen)布基礎(chu)上(shang)構建統計(ji)(ji)量(liang)(liang)；③. 根據統計(ji)(ji)量(liang)(liang)的(de)分(fen)(fen)布做出統計(ji)(ji)推(tui)斷，進(jin)行(xing)(xing)擬合檢驗；④. 選擇最優概(gai)型(xing)(xing)。常(chang)用(yong)的(de)統計(ji)(ji)量(liang)(liang)包括均值、標準差(cha)、極差(cha)、變(bian)異系數、偏度(du)等(deng)。正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)布、威(wei)布爾（Weibull)分(fen)(fen)布、指數分(fen)(fen)布以及Poisson分(fen)(fen)布等(deng)都是(shi)(shi)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)概(gai)率(lv)(lv)分(fen)(fen)析(xi)中經常(chang)用(yong)到的(de)隨機變(bian)量(liang)(liang)的(de)概(gai)率(lv)(lv)分(fen)(fen)布類(lei)型(xing)(xing)。

通常，直接計(ji)算(suan)概(gai)率(lv)的(de)密(mi)(mi)度函數難度非常大(da)，常用的(de)處(chu)理方法是把概(gai)率(lv)密(mi)(mi)度估計(ji)轉化為參數估計(ji)問(wen)題。因此概(gai)率(lv)密(mi)(mi)度函數的(de)確(que)定是關(guan)鍵，正(zheng)確(que)的(de)密(mi)(mi)度函數是獲得準確(que)估計(ji)值(zhi)的(de)重要(yao)前提。

2. 參數的估(gu)計和(he)假設檢(jian)驗

由于正態分(fen)(fen)布情況(kuang)發生(sheng)的(de)(de)(de)比較多(duo)，因(yin)此(ci)，以(yi)正態分(fen)(fen)布為例(li)加以(yi)說明。參(can)數估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路是采用樣本(ben)統計(ji)(ji)(ji)(ji)量估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)總體參(can)數。常(chang)用的(de)(de)(de)參(can)數估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)方(fang)法(fa)有(you)矩估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)和最大(da)（極大(da)）似(si)然法(fa)，除此(ci)之外，還有(you)最小二乘、貝葉斯估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)等方(fang)法(fa)。矩估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)不(bu)(bu)受變(bian)量分(fen)(fen)布的(de)(de)(de)影響，這也恰恰成為該方(fang)法(fa)的(de)(de)(de)缺點，即(ji)變(bian)量的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布信息不(bu)(bu)能(neng)被(bei)充分(fen)(fen)利用，一(yi)般具有(you)多(duo)個分(fen)(fen)析結果(guo)。與矩估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)相反，最大(da)似(si)然法(fa)的(de)(de)(de)使(shi)用受已知變(bian)量概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)影響，必(bi)須在(zai)已知概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)前(qian)提下才能(neng)使(shi)用，而(er)且假設的(de)(de)(de)概(gai)率模型(xing)正確(que)性對參(can)數估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)結果(guo)影響很(hen)大(da)。最大(da)似(si)然估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)具有(you)計(ji)(ji)(ji)(ji)算簡單、收斂(lian)型(xing)好等特(te)點，在(zai)參(can)數估(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)應用更加廣泛(fan)，其主要計(ji)(ji)(ji)(ji)算步驟如下：

  式（6-10)稱為(wei)似(si)(si)然方(fang)程組，求(qiu)解該方(fang)程組，得出均值(zhi)(zhi)、方(fang)差最大似(si)(si)然估計值(zhi)(zhi)

  以上過程是參(can)數估計，下面對(dui)參(can)數假設檢驗。與參(can)數估計的(de)(de)目的(de)(de)相同(tong)，參(can)數假設檢驗也是根(gen)據樣(yang)本(ben)信息對(dui)總體的(de)(de)數量特征進(jin)行推斷。

  假(jia)設檢驗(yan)是以樣本資(zi)料對(dui)總(zong)體(ti)的(de)(de)(de)(de)先驗(yan)假(jia)設是否成立，根據(ju)樣本的(de)(de)(de)(de)統計量檢驗(yan)假(jia)設的(de)(de)(de)(de)總(zong)體(ti)參數的(de)(de)(de)(de)可靠度，同時做(zuo)出判斷(duan)結(jie)果(guo)，判斷(duan)結(jie)果(guo)包括接受(shou)和拒絕(jue)。分析過程(cheng)是：①. 提出原(yuan)假(jia)設（要求檢驗(yan)的(de)(de)(de)(de)假(jia)設）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)設（如果(guo)原(yuan)假(jia)設不成立，就要接受(shou)另一個假(jia)設）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)(de)(de)(de)檢驗(yan)統計量；③. 計算(suan)觀測(ce)值(zhi)；④. 確定顯(xian)著(zhu)性水平；⑤. 依據(ju)檢驗(yan)統計量觀測(ce)值(zhi)的(de)(de)(de)(de)位置給(gei)出判斷(duan)結(jie)果(guo)。

在以上分(fen)析過(guo)程中，可能會犯(fan)兩類(lei)(lei)錯(cuo)誤：當(dang)H0為真時而拒絕H0,稱為第(di)一(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)誤；當(dang)H0為假(jia)時而接受H0,稱為第(di)二類(lei)(lei)錯(cuo)誤。犯(fan)兩類(lei)(lei)錯(cuo)誤的(de)(de)(de)概率(lv)通常是矛盾的(de)(de)(de)：一(yi)個概率(lv)小了另一(yi)個概率(lv)就(jiu)大。在實(shi)際(ji)使(shi)用中，我們一(yi)般限定(ding)犯(fan)第(di)一(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)誤的(de)(de)(de)概率(lv)不超過(guo)給定(ding)的(de)(de)(de)α,使(shi)犯(fan)第(di)二類(lei)(lei)錯(cuo)誤的(de)(de)(de)概率(lv)就(jiu)可能小。在正態(tai)總體參數(shu)的(de)(de)(de)假(jia)設檢(jian)驗中，主要包括均值的(de)(de)(de)U檢(jian)驗和t檢(jian)驗、方差的(de)(de)(de)χ2檢(jian)驗等。

3. 分(fen)布的假設檢(jian)驗

  上(shang)一小節介紹(shao)的(de)是在總(zong)體(ti)分(fen)布(bu)已知(zhi)的(de)情況下，對分(fen)布(bu)中的(de)一些未知(zhi)參數進行檢驗(yan)(yan)。但是，很多(duo)時候并(bing)不知(zhi)道總(zong)體(ti)的(de)分(fen)布(bu)規律，我們往(wang)往(wang)是根據樣本來假設總(zong)體(ti)的(de)分(fen)布(bu)類型，因此，對于(yu)總(zong)體(ti)樣本所假設的(de)分(fen)布(bu)是否(fou)正確(que)，還需要檢驗(yan)(yan)，常用(yong)的(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗(yan)(yan)方(fang)法，其中χ2檢驗(yan)(yan)應用(yong)較多(duo)，下面(mian)以這種方(fang)法為例，介紹(shao)檢驗(yan)(yan)過程。

  χ2檢(jian)驗(yan)法(fa)的分析過程是：①. 提出原(yuan)假設；②. 檢(jian)驗(yan)假設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個(ge)(ge)(ge)互不(bu)相交的小區(qu)間(jian)把(ba)樣本數(shu)據進行分組(zu)，通(tong)常每個(ge)(ge)(ge)區(qu)間(jian)的數(shu)據不(bu)少于5個(ge)(ge)(ge)，若不(bu)滿足這一(yi)要(yao)求，可以通(tong)過合并區(qu)間(jian)來(lai)達到這一(yi)要(yao)求。假設H0成立，根據分組(zu)結果計算χ2檢(jian)驗(yan)統計量

4. 主要(yao)參數的概率分布

 根據(ju)以上分(fen)析(xi)步驟，對應力腐(fu)蝕環境中的離子濃度的統計性(xing)進(jin)行分(fen)析(xi)。數據(ju)來(lai)自某石化企業的監測數據(ju)。頻率(lv)直方圖(tu)要將樣本(ben)值(zhi)分(fen)為r個(ge)不(bu)相交的區間，r值(zhi)可由(you) Sturges公式確(que)定，并取整(zheng)數。r值(zhi)取決于樣本(ben)數n。

  首先，假設各參數(shu)服從正態分(fen)布，并畫出正態分(fen)布的密度函數(shu)曲線，該計(ji)算采用(yong)matlab編程完成，計(ji)算結(jie)果(guo)如圖6-3所示。

  從圖6-3可(ke)以看出，pH、氯(lv)離子(zi)濃(nong)度(du)(du)和(he)硫酸根(gen)(gen)離子(zi)濃(nong)度(du)(du)滿足正態(tai)(tai)分布，而亞硫酸根(gen)(gen)離子(zi)濃(nong)度(du)(du)不(bu)滿足正態(tai)(tai)分布，經過分析，認為滿足威(wei)布爾分布，如(ru)圖6-4所示(shi)。

  經過卡(ka)方(fang)檢驗，在顯著(zhu)性水平0.05下，可以認為：

  溫度(du)服從N(98.25,1.642);

  pH服從(cong)N(4.4608,0.29522);

  硫(liu)酸根離子(zi)濃度服(fu)從(cong)N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸(suan)根離(li)子濃度服從(cong)α=0.5926,β=1.5746的兩參數威(wei)布(bu)(bu)爾(er)分布(bu)(bu)。

  亞硫酸(suan)根離(li)子濃度服(fu)從(cong)威(wei)布爾分布的原因：亞硫酸(suan)根不(bu)穩(wen)定，與氫離(li)子反應(ying)，從(cong)而濃度逐漸(jian)減小。

三、失效概率計算方法

1. 解析(xi)法

  當應力和強(qiang)度是比較(jiao)簡單的(de)變量時，式（6-4)可(ke)(ke)以(yi)直接計算(suan)失效概率(lv)。在一些研究中，會出(chu)現“干(gan)涉面積＝失效概率(lv)”的(de)說(shuo)(shuo)法，這種說(shuo)(shuo)法是不正確的(de)。根(gen)據可(ke)(ke)靠(kao)性(xing)理(li)論可(ke)(ke)知，應力－強(qiang)度模(mo)型中強(qiang)度大于應力的(de)概率(lv)即為可(ke)(ke)靠(kao)度。可(ke)(ke)靠(kao)度P可(ke)(ke)根(gen)據下式計算(suan)

  從計算結果可以看出，失效(xiao)概率遠小于干(gan)涉面(mian)積之(zhi)和(he)。

2. 數值解析法(fa)

  當隨機變(bian)量(liang)較多(duo)時，直(zhi)接求解(jie)(jie)失效概率(lv)值是(shi)很困難的，采用(yong)數值求解(jie)(jie)是(shi)一(yi)種比較好的解(jie)(jie)決方法(fa)(fa)(fa)。在應(ying)力腐蝕(shi)概率(lv)計算(suan)中，涉及的隨機變(bian)量(liang)較多(duo)且(qie)具有不(bu)(bu)同(tong)的分布(bu)類(lei)型，結果難以用(yong)解(jie)(jie)析法(fa)(fa)(fa)和近似法(fa)(fa)(fa)求解(jie)(jie)，可以采用(yong)蒙特(te)(te)卡洛（Monte-Carlo)模擬(ni)(ni)法(fa)(fa)(fa)。Monte-Carlo模擬(ni)(ni)法(fa)(fa)(fa)的特(te)(te)點是(shi)：①. 受研(yan)究問(wen)題(ti)維數的影(ying)(ying)響(xiang)較小；②. 不(bu)(bu)受假設約束；③. 不(bu)(bu)存在狀(zhuang)態(tai)空間(jian)爆炸問(wen)題(ti)；④. 不(bu)(bu)受變(bian)量(liang)數量(liang)的影(ying)(ying)響(xiang)。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)(fa)是(shi)一(yi)種處理高維動態(tai)失效概率(lv)問(wen)題(ti)的方法(fa)(fa)(fa)。

  蒙特卡洛模擬法又(you)稱為隨機模擬法，基本(ben)思想是(shi)：