隨機變量(liang)模型(xing)和隨機過程模型(xing)是研(yan)究(jiu)香蕉視頻app連接:應力腐蝕概率的常用模(mo)型，本章重點介(jie)紹(shao)隨機變(bian)量模(mo)型。

一、應力-強度干(gan)涉模型

 1942年，Pugsley提出了采用應(ying)(ying)(ying)力(li)、強(qiang)度(du)分(fen)布(bu)函(han)數曲線的(de)(de)(de)干(gan)涉區面積分(fen)析(xi)(xi)失效概率的(de)(de)(de)方法，即應(ying)(ying)(ying)力(li)－強(qiang)度(du)干(gan)涉模(mo)型，該模(mo)型在(zai)構(gou)件和(he)系(xi)(xi)統的(de)(de)(de)可靠(kao)性(xing)分(fen)析(xi)(xi)中得到(dao)了廣(guang)泛(fan)應(ying)(ying)(ying)用。目前，已成(cheng)為(wei)分(fen)析(xi)(xi)構(gou)件和(he)系(xi)(xi)統失效概率的(de)(de)(de)重要模(mo)型之一。在(zai)結(jie)構(gou)可靠(kao)性(xing)分(fen)析(xi)(xi)中，應(ying)(ying)(ying)力(li)－強(qiang)度(du)（S-R)干(gan)涉模(mo)型應(ying)(ying)(ying)用最(zui)廣(guang)，模(mo)型中的(de)(de)(de)S和(he)R的(de)(de)(de)含義不僅僅是力(li)學分(fen)析(xi)(xi)中的(de)(de)(de)應(ying)(ying)(ying)力(li)和(he)強(qiang)度(du)，二者具(ju)有更廣(guang)泛(fan)的(de)(de)(de)范疇。對于一個系(xi)(xi)統而言，S指的(de)(de)(de)是造成(cheng)結(jie)構(gou)破(po)壞的(de)(de)(de)所有因素，即推動(dong)力(li)；R代(dai)表了結(jie)構(gou)抵抗破(po)壞的(de)(de)(de)能力(li)，即阻抗力(li)。

  應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)是一(yi)種(zhong)(zhong)低(di)(di)(di)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)脆斷(duan)，是斷(duan)裂(lie)和腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)兩(liang)種(zhong)(zhong)機理(li)相(xiang)互(hu)影響(xiang)的(de)(de)結果(guo)(guo)。因此，當應(ying)(ying)力(li)(li)(li)還遠低(di)(di)(di)于斷(duan)裂(lie)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)時(shi)就能(neng)引起應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)裂(lie)紋的(de)(de)產生(sheng)和擴展。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)作(zuo)用(yong)(yong)降低(di)(di)(di)了(le)材(cai)料的(de)(de)耐腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)性能(neng)，而(er)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)降低(di)(di)(di)了(le)材(cai)料的(de)(de)斷(duan)裂(lie)強(qiang)度(du)，兩(liang)者是互(hu)相(xiang)促進的(de)(de)。也就是說，機械力(li)(li)(li)和化學力(li)(li)(li)的(de)(de)協(xie)同作(zuo)用(yong)(yong)導致了(le)裂(lie)紋的(de)(de)擴展，如果(guo)(guo)只(zhi)有應(ying)(ying)力(li)(li)(li)或腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)單獨作(zuo)用(yong)(yong)，是不會出(chu)現(xian)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)的(de)(de)結果(guo)(guo)。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)要(yao)經過(guo)一(yi)定(ding)的(de)(de)時(shi)間才能(neng)發生(sheng)，這是因為能(neng)量(liang)積蓄到使材(cai)料破壞的(de)(de)程度(du)是需要(yao)時(shi)間的(de)(de)，應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)是使材(cai)料強(qiang)度(du)逐漸退(tui)化的(de)(de)過(guo)程，因此，我(wo)們(men)可(ke)以采用(yong)(yong)耐久性損傷模型來描(miao)述應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)失(shi)效(xiao)的(de)(de)物理(li)過(guo)程。由S-R干涉(she)模型的(de)(de)理(li)論可(ke)以寫出(chu)結構的(de)(de)極限狀態方程

  因(yin)此，對于失效(xiao)概(gai)率的(de)(de)研(yan)究就轉化為對強度(du)和應力由(you)于概(gai)率分(fen)布干涉引起的(de)(de)狀態失效(xiao)問題的(de)(de)研(yan)究。當fs(s)和fR(r)分(fen)別表示應力和強度(du)的(de)(de)概(gai)率密度(du)函數時，圖(tu)中兩者重疊部分(fen)面積反(fan)映了失效(xiao)概(gai)率的(de)(de)大小(xiao)，如圖(tu)6-1所(suo)示。

  假如最(zui)初應(ying)力(li)與強度是(shi)留有(you)充(chong)分的(de)安全(quan)余量(liang)的(de)，那么經過一定時間(jian)后，隨著(zhu)應(ying)力(li)分布與強度分布的(de)交疊(die)，就有(you)失效發生，這種情(qing)形可以說(shuo)是(shi)耐久模型的(de)典型例(li)子。根據應(ying)力(li)－強度干涉模型不但能夠(gou)求解應(ying)力(li)腐(fu)蝕失效概(gai)(gai)率(lv)，還可以分析應(ying)力(li)腐(fu)蝕不同階(jie)段(duan)的(de)概(gai)(gai)率(lv)情(qing)況(kuang)，如裂紋的(de)萌生概(gai)(gai)率(lv)、裂紋的(de)擴(kuo)展(zhan)概(gai)(gai)率(lv)等。

  當材料發(fa)生(sheng)(sheng)腐(fu)蝕(shi)(shi)后，隨著(zhu)時(shi)間(jian)(jian)的推移(yi)，材料抵抗(kang)破壞的能力降(jiang)低，而腐(fu)蝕(shi)(shi)環境很可(ke)能變(bian)(bian)(bian)得(de)(de)更加苛(ke)刻。例如應(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)，隨著(zhu)裂紋(wen)的擴展，材料強(qiang)度(du)降(jiang)低、裂紋(wen)尖端(duan)應(ying)(ying)力集(ji)中區域(yu)增大(da)(da)，局部存在(zai)侵蝕(shi)(shi)性(xing)離子的富集(ji)，使(shi)得(de)(de)廣義應(ying)(ying)力變(bian)(bian)(bian)大(da)(da)而強(qiang)度(du)降(jiang)低，此時(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)間(jian)(jian)有關的變(bian)(bian)(bian)量(liang)，很顯然，概率(lv)密度(du)函數也著(zhu)時(shi)間(jian)(jian)的變(bian)(bian)(bian)化而變(bian)(bian)(bian)化。當強(qiang)度(du)隨時(shi)間(jian)(jian)發(fa)生(sheng)(sheng)衰(shuai)退時(shi)，強(qiang)度(du)和(he)應(ying)(ying)力組成的干涉區域(yu)隨時(shi)間(jian)(jian)變(bian)(bian)(bian)化會越來越大(da)(da)，這(zhe)意味著(zhu)產品(pin)可(ke)靠性(xing)在(zai)降(jiang)低。

  大多數參數的(de)不確定性(xing)與時(shi)間(jian)有關。發(fa)生(sheng)應(ying)力腐蝕時(shi)，構(gou)件所受(shou)的(de)廣義應(ying)力一般是隨機過程，應(ying)力稱為(wei)(wei)時(shi)間(jian)的(de)函數，強(qiang)度為(wei)(wei)一固定的(de)臨(lin)界值，如圖6-2所示，功能(neng)函數應(ying)表示為(wei)(wei)

二、應力腐蝕參數的概率分布估計

1. 變量(liang)分布類(lei)型確(que)定

  采用(yong)(yong)S-R模型(xing)分(fen)析(xi)應力(li)腐(fu)蝕失效(xiao)概(gai)(gai)(gai)率(lv)時(shi)，第一步(bu)是確定應力(li)腐(fu)蝕的(de)(de)(de)“推動力(li)”，即S所包(bao)含的(de)(de)(de)參數(shu)(shu)，包(bao)括溫(wen)度、侵(qin)蝕性離子(zi)濃度、pH值等(deng)，分(fen)析(xi)各參數(shu)(shu)的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)概(gai)(gai)(gai)型(xing)。在進(jin)行參數(shu)(shu)的(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)率(lv)分(fen)布(bu)類(lei)型(xing)研(yan)究(jiu)中(zhong)，一般經(jing)(jing)過以下步(bu)驟：①. 假設隨機變量服從某一分(fen)布(bu)；②. 在假設分(fen)布(bu)基礎上構建統計量；③. 根據統計量的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)做出統計推斷，進(jin)行擬合檢驗；④. 選(xuan)擇最(zui)優概(gai)(gai)(gai)型(xing)。常(chang)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)統計量包(bao)括均(jun)值、標(biao)準(zhun)差、極差、變異系(xi)數(shu)(shu)、偏度等(deng)。正態分(fen)布(bu)、威(wei)布(bu)爾（Weibull)分(fen)布(bu)、指(zhi)數(shu)(shu)分(fen)布(bu)以及Poisson分(fen)布(bu)等(deng)都(dou)是應力(li)腐(fu)蝕概(gai)(gai)(gai)率(lv)分(fen)析(xi)中(zhong)經(jing)(jing)常(chang)用(yong)(yong)到(dao)的(de)(de)(de)隨機變量的(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)率(lv)分(fen)布(bu)類(lei)型(xing)。

通(tong)常，直接計(ji)算概(gai)率的密(mi)度(du)函數(shu)(shu)難度(du)非常大，常用的處理方法是把概(gai)率密(mi)度(du)估計(ji)轉(zhuan)化為參數(shu)(shu)估計(ji)問(wen)題。因此概(gai)率密(mi)度(du)函數(shu)(shu)的確(que)定是關鍵，正(zheng)確(que)的密(mi)度(du)函數(shu)(shu)是獲得準(zhun)確(que)估計(ji)值的重(zhong)要前提。

2. 參數的估計(ji)和假設檢驗

由于(yu)正態(tai)分(fen)布情況發生的(de)(de)(de)(de)(de)比較多(duo)，因此(ci)，以正態(tai)分(fen)布為(wei)例加(jia)以說明。參數估(gu)(gu)計(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)思(si)路是采(cai)用(yong)(yong)樣本統(tong)計(ji)(ji)量(liang)估(gu)(gu)計(ji)(ji)總體參數。常用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)參數估(gu)(gu)計(ji)(ji)方法有(you)矩估(gu)(gu)計(ji)(ji)法和最(zui)(zui)大(da)（極大(da)）似然法，除此(ci)之(zhi)外，還有(you)最(zui)(zui)小二乘、貝葉(xie)斯估(gu)(gu)計(ji)(ji)等(deng)方法。矩估(gu)(gu)計(ji)(ji)法不(bu)受變(bian)量(liang)分(fen)布的(de)(de)(de)(de)(de)影響(xiang)，這也恰(qia)恰(qia)成為(wei)該方法的(de)(de)(de)(de)(de)缺點，即變(bian)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)布信息(xi)不(bu)能被(bei)充(chong)分(fen)利用(yong)(yong)，一般(ban)具有(you)多(duo)個(ge)分(fen)析結(jie)果。與矩估(gu)(gu)計(ji)(ji)法相反，最(zui)(zui)大(da)似然法的(de)(de)(de)(de)(de)使(shi)用(yong)(yong)受已(yi)知(zhi)變(bian)量(liang)概(gai)(gai)型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)影響(xiang)，必須在已(yi)知(zhi)概(gai)(gai)型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)前提下才能使(shi)用(yong)(yong)，而且假設的(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)率模型(xing)(xing)正確性對參數估(gu)(gu)計(ji)(ji)結(jie)果影響(xiang)很(hen)大(da)。最(zui)(zui)大(da)似然估(gu)(gu)計(ji)(ji)法具有(you)計(ji)(ji)算(suan)簡單(dan)、收斂型(xing)(xing)好等(deng)特點，在參數估(gu)(gu)計(ji)(ji)中的(de)(de)(de)(de)(de)應用(yong)(yong)更(geng)加(jia)廣泛(fan)，其主要(yao)計(ji)(ji)算(suan)步驟如下：

  式(shi)（6-10)稱為似然方程組，求解(jie)該(gai)方程組，得出均值、方差最(zui)大似然估計值

  以上過程是(shi)參(can)數估計，下面對(dui)參(can)數假(jia)設檢(jian)驗。與參(can)數估計的目的相(xiang)同，參(can)數假(jia)設檢(jian)驗也(ye)是(shi)根據樣(yang)本信息對(dui)總體的數量特征進行推斷。

  假(jia)(jia)(jia)設(she)檢(jian)驗是(shi)以樣本資料對總體的(de)先驗假(jia)(jia)(jia)設(she)是(shi)否成(cheng)立(li)，根據(ju)樣本的(de)統(tong)計量(liang)檢(jian)驗假(jia)(jia)(jia)設(she)的(de)總體參數的(de)可靠度，同時(shi)做出(chu)判斷結果(guo)，判斷結果(guo)包括接受和(he)拒絕。分(fen)析過(guo)程(cheng)是(shi)：①. 提(ti)出(chu)原假(jia)(jia)(jia)設(she)（要(yao)求(qiu)檢(jian)驗的(de)假(jia)(jia)(jia)設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和(he)備選假(jia)(jia)(jia)設(she)（如果(guo)原假(jia)(jia)(jia)設(she)不(bu)成(cheng)立(li)，就要(yao)接受另(ling)一個假(jia)(jia)(jia)設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)檢(jian)驗統(tong)計量(liang)；③. 計算觀測值；④. 確定顯著(zhu)性(xing)水平；⑤. 依據(ju)檢(jian)驗統(tong)計量(liang)觀測值的(de)位置(zhi)給出(chu)判斷結果(guo)。

在(zai)以上(shang)分析過程中(zhong)，可能會犯兩類(lei)(lei)(lei)錯誤：當H0為真時而拒絕H0,稱(cheng)為第一(yi)類(lei)(lei)(lei)錯誤；當H0為假時而接受H0,稱(cheng)為第二類(lei)(lei)(lei)錯誤。犯兩類(lei)(lei)(lei)錯誤的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)通常是(shi)矛盾的(de)(de)(de)：一(yi)個概率(lv)(lv)小了另一(yi)個概率(lv)(lv)就大。在(zai)實際使用中(zhong)，我們一(yi)般(ban)限(xian)定(ding)犯第一(yi)類(lei)(lei)(lei)錯誤的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)不超過給(gei)定(ding)的(de)(de)(de)α,使犯第二類(lei)(lei)(lei)錯誤的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)就可能小。在(zai)正態總體參數的(de)(de)(de)假設檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)中(zhong)，主(zhu)要(yao)包(bao)括均值的(de)(de)(de)U檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)和t檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)、方(fang)差(cha)的(de)(de)(de)χ2檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)等。

3. 分布的假設檢驗

  上一(yi)小(xiao)節(jie)介紹(shao)的(de)(de)是(shi)在總(zong)體分布(bu)已知(zhi)的(de)(de)情(qing)況下，對(dui)分布(bu)中的(de)(de)一(yi)些(xie)未(wei)知(zhi)參數進行檢(jian)驗(yan)。但是(shi)，很多時候并不知(zhi)道總(zong)體的(de)(de)分布(bu)規律，我(wo)們往往是(shi)根據樣(yang)(yang)本來假設總(zong)體的(de)(de)分布(bu)類型，因此(ci)，對(dui)于(yu)總(zong)體樣(yang)(yang)本所假設的(de)(de)分布(bu)是(shi)否正(zheng)確，還需要檢(jian)驗(yan)，常(chang)用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)驗(yan)方法(fa)，其中χ2檢(jian)驗(yan)應用較(jiao)多，下面以這種方法(fa)為例(li)，介紹(shao)檢(jian)驗(yan)過程。

  χ2檢(jian)驗(yan)法的分析(xi)過程(cheng)是：①. 提出原(yuan)假設；②. 檢(jian)驗(yan)假設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)干個(ge)(ge)互不相交的小區間(jian)把樣本(ben)數據(ju)(ju)進(jin)行(xing)分組，通(tong)常每個(ge)(ge)區間(jian)的數據(ju)(ju)不少于5個(ge)(ge)，若(ruo)不滿足這一(yi)要求(qiu)，可以通(tong)過合并區間(jian)來(lai)達(da)到這一(yi)要求(qiu)。假設H0成(cheng)立，根據(ju)(ju)分組結(jie)果計(ji)算χ2檢(jian)驗(yan)統(tong)計(ji)量(liang)

4. 主要(yao)參(can)數的概(gai)率分布

 根據(ju)以(yi)上分(fen)析步驟，對應力腐蝕環境中的(de)離子濃度的(de)統計(ji)性進行分(fen)析。數據(ju)來自某石化企業的(de)監測(ce)數據(ju)。頻率直方圖(tu)要將樣本值分(fen)為r個不(bu)相(xiang)交(jiao)的(de)區間，r值可由 Sturges公式(shi)確(que)定(ding)，并(bing)取整數。r值取決于(yu)樣本數n。

  首(shou)先，假設各參數服(fu)從正(zheng)態分(fen)布，并畫出正(zheng)態分(fen)布的(de)密度函數曲線，該計(ji)算(suan)采用matlab編(bian)程(cheng)完成，計(ji)算(suan)結果如(ru)圖(tu)6-3所示。

  從圖(tu)6-3可以看出，pH、氯離子(zi)濃(nong)度(du)和硫酸(suan)根離子(zi)濃(nong)度(du)滿足(zu)(zu)正態(tai)分(fen)布(bu)(bu)，而(er)亞(ya)硫酸(suan)根離子(zi)濃(nong)度(du)不滿足(zu)(zu)正態(tai)分(fen)布(bu)(bu)，經(jing)過分(fen)析，認為滿足(zu)(zu)威(wei)布(bu)(bu)爾分(fen)布(bu)(bu)，如(ru)圖(tu)6-4所示。

  經過卡方(fang)檢驗，在顯著性水平0.05下(xia)，可以(yi)認為：

  溫(wen)度(du)服從(cong)N(98.25,1.642);

  pH服從(cong)N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子(zi)濃(nong)度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度(du)服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃度(du)服從α=0.5926,β=1.5746的兩參(can)數(shu)威布爾(er)分布。

  亞硫酸根離子濃度服從威布(bu)爾分布(bu)的原因：亞硫酸根不(bu)穩定，與氫離子反應(ying)，從而濃度逐漸減小。

三、失效概率計算方(fang)法

1. 解析法

  當(dang)應力(li)和強度(du)是(shi)比較簡單的(de)變量時，式（6-4)可(ke)(ke)(ke)以直(zhi)接計算失(shi)效概(gai)率(lv)。在一些研究中，會(hui)出現(xian)“干涉面積＝失(shi)效概(gai)率(lv)”的(de)說(shuo)法，這(zhe)種說(shuo)法是(shi)不正確的(de)。根據(ju)可(ke)(ke)(ke)靠(kao)性理論可(ke)(ke)(ke)知，應力(li)－強度(du)模型中強度(du)大于應力(li)的(de)概(gai)率(lv)即(ji)為可(ke)(ke)(ke)靠(kao)度(du)。可(ke)(ke)(ke)靠(kao)度(du)P可(ke)(ke)(ke)根據(ju)下(xia)式計算

  從(cong)計算結(jie)果可(ke)以看出，失(shi)效(xiao)概率遠小于(yu)干涉(she)面積之和。

2. 數值(zhi)解析法(fa)

  當隨機(ji)變量(liang)(liang)較(jiao)多時，直接求(qiu)解(jie)失效概(gai)率(lv)值是很困難(nan)的(de)(de)，采(cai)用數(shu)值求(qiu)解(jie)是一種比較(jiao)好的(de)(de)解(jie)決方法(fa)(fa)(fa)(fa)。在(zai)(zai)應力(li)腐蝕概(gai)率(lv)計(ji)算中，涉及(ji)的(de)(de)隨機(ji)變量(liang)(liang)較(jiao)多且具有不(bu)同的(de)(de)分布類型，結果難(nan)以用解(jie)析(xi)法(fa)(fa)(fa)(fa)和(he)近似法(fa)(fa)(fa)(fa)求(qiu)解(jie)，可以采(cai)用蒙(meng)特卡(ka)洛(luo)（Monte-Carlo)模擬法(fa)(fa)(fa)(fa)。Monte-Carlo模擬法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)特點(dian)是：①. 受(shou)研究(jiu)問題維(wei)數(shu)的(de)(de)影(ying)響較(jiao)小(xiao)；②. 不(bu)受(shou)假設約束；③. 不(bu)存(cun)在(zai)(zai)狀態空間爆炸問題；④. 不(bu)受(shou)變量(liang)(liang)數(shu)量(liang)(liang)的(de)(de)影(ying)響。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)(fa)(fa)是一種處理高維(wei)動態失效概(gai)率(lv)問題的(de)(de)方法(fa)(fa)(fa)(fa)。

  蒙特卡洛模(mo)(mo)擬法又稱為(wei)隨機模(mo)(mo)擬法，基(ji)本(ben)思想是：