隨機變量(liang)模(mo)型(xing)和隨機過程模(mo)型(xing)是研(yan)究香蕉視頻app連接:應力腐蝕概(gai)率(lv)的常用模(mo)型，本章(zhang)重點(dian)介(jie)紹隨機變量模(mo)型。

一、應力-強度干涉模(mo)型

 1942年，Pugsley提出了(le)采用應(ying)力、強(qiang)度(du)分(fen)(fen)布函數(shu)曲線的干(gan)涉(she)區(qu)面積(ji)分(fen)(fen)析(xi)失效(xiao)概(gai)率的方法(fa)，即應(ying)力－強(qiang)度(du)干(gan)涉(she)模型(xing)，該模型(xing)在構(gou)(gou)件(jian)和(he)系統的可靠(kao)性分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)得到(dao)了(le)廣(guang)泛應(ying)用。目前，已成為(wei)分(fen)(fen)析(xi)構(gou)(gou)件(jian)和(he)系統失效(xiao)概(gai)率的重要(yao)模型(xing)之一。在結(jie)(jie)(jie)構(gou)(gou)可靠(kao)性分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)，應(ying)力－強(qiang)度(du)（S-R)干(gan)涉(she)模型(xing)應(ying)用最廣(guang)，模型(xing)中(zhong)的S和(he)R的含義不僅僅是(shi)力學分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)的應(ying)力和(he)強(qiang)度(du)，二者具有(you)更廣(guang)泛的范疇。對于一個系統而言，S指的是(shi)造成結(jie)(jie)(jie)構(gou)(gou)破壞的所有(you)因素，即推動力；R代表(biao)了(le)結(jie)(jie)(jie)構(gou)(gou)抵抗(kang)破壞的能力，即阻抗(kang)力。

  應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷裂(lie)是(shi)(shi)一(yi)種低(di)應(ying)力(li)(li)脆斷，是(shi)(shi)斷裂(lie)和(he)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)兩種機(ji)理相(xiang)互影響的(de)(de)結(jie)果(guo)。因(yin)此，當應(ying)力(li)(li)還遠低(di)于(yu)斷裂(lie)應(ying)力(li)(li)時就能引(yin)起應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)裂(lie)紋(wen)的(de)(de)產生和(he)擴展。應(ying)力(li)(li)作(zuo)(zuo)用(yong)降(jiang)低(di)了材(cai)(cai)(cai)料(liao)(liao)的(de)(de)耐腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)性能，而腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)降(jiang)低(di)了材(cai)(cai)(cai)料(liao)(liao)的(de)(de)斷裂(lie)強(qiang)度(du)，兩者是(shi)(shi)互相(xiang)促進的(de)(de)。也就是(shi)(shi)說，機(ji)械(xie)力(li)(li)和(he)化學力(li)(li)的(de)(de)協同作(zuo)(zuo)用(yong)導致了裂(lie)紋(wen)的(de)(de)擴展，如果(guo)只有(you)應(ying)力(li)(li)或腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)單獨作(zuo)(zuo)用(yong)，是(shi)(shi)不會出(chu)現應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷裂(lie)的(de)(de)結(jie)果(guo)。應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷裂(lie)要經(jing)過(guo)(guo)一(yi)定的(de)(de)時間才(cai)能發生，這是(shi)(shi)因(yin)為能量積蓄(xu)到使材(cai)(cai)(cai)料(liao)(liao)破(po)壞的(de)(de)程度(du)是(shi)(shi)需要時間的(de)(de)，應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)是(shi)(shi)使材(cai)(cai)(cai)料(liao)(liao)強(qiang)度(du)逐(zhu)漸退化的(de)(de)過(guo)(guo)程，因(yin)此，我們可以(yi)采用(yong)耐久性損傷(shang)模型(xing)來描述應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)失(shi)效的(de)(de)物理過(guo)(guo)程。由(you)S-R干涉模型(xing)的(de)(de)理論可以(yi)寫出(chu)結(jie)構的(de)(de)極限狀態方程

  因此，對于失(shi)效(xiao)概率的(de)研究(jiu)就轉化為對強度(du)(du)和應力由于概率分布干涉引起(qi)的(de)狀態失(shi)效(xiao)問題的(de)研究(jiu)。當fs(s)和fR(r)分別表示應力和強度(du)(du)的(de)概率密度(du)(du)函數時(shi)，圖中兩者重疊部分面積(ji)反映了失(shi)效(xiao)概率的(de)大小，如圖6-1所示。

  假如最初應(ying)力(li)(li)與(yu)(yu)強(qiang)(qiang)度是留有充分(fen)(fen)的(de)安全余量(liang)的(de)，那么經過一定時間后，隨(sui)著(zhu)應(ying)力(li)(li)分(fen)(fen)布與(yu)(yu)強(qiang)(qiang)度分(fen)(fen)布的(de)交疊，就(jiu)有失效發生，這(zhe)種情(qing)形可以說是耐(nai)久模型的(de)典型例子。根據應(ying)力(li)(li)－強(qiang)(qiang)度干涉模型不但能夠求解(jie)應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕失效概(gai)率(lv)(lv)，還可以分(fen)(fen)析應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕不同階段(duan)的(de)概(gai)率(lv)(lv)情(qing)況，如裂紋的(de)萌生概(gai)率(lv)(lv)、裂紋的(de)擴(kuo)展概(gai)率(lv)(lv)等。

  當材料發生(sheng)腐(fu)(fu)蝕后，隨(sui)著時(shi)間(jian)的(de)推移，材料抵(di)抗(kang)破壞(huai)的(de)能力降(jiang)低，而腐(fu)(fu)蝕環境很可(ke)能變(bian)得更(geng)加苛刻。例如(ru)應(ying)力腐(fu)(fu)蝕，隨(sui)著裂紋的(de)擴展，材料強度(du)(du)降(jiang)低、裂紋尖端(duan)應(ying)力集中區(qu)域增(zeng)大(da)，局部存在侵(qin)蝕性離子的(de)富集，使得廣義(yi)應(ying)力變(bian)大(da)而強度(du)(du)降(jiang)低，此時(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)間(jian)有關(guan)的(de)變(bian)量(liang)，很顯(xian)然，概(gai)率密度(du)(du)函(han)數也著時(shi)間(jian)的(de)變(bian)化(hua)而變(bian)化(hua)。當強度(du)(du)隨(sui)時(shi)間(jian)發生(sheng)衰退時(shi)，強度(du)(du)和(he)應(ying)力組成的(de)干涉區(qu)域隨(sui)時(shi)間(jian)變(bian)化(hua)會越來越大(da)，這(zhe)意(yi)味著產(chan)品可(ke)靠性在降(jiang)低。

  大多數(shu)參數(shu)的不(bu)確定性與時間有(you)關。發生(sheng)應(ying)力腐(fu)蝕時，構件所受的廣義應(ying)力一(yi)般是(shi)隨機過程，應(ying)力稱為時間的函數(shu)，強度為一(yi)固定的臨(lin)界值，如圖6-2所示(shi)，功能(neng)函數(shu)應(ying)表(biao)示(shi)為

二、應力腐蝕(shi)參數的概(gai)率分布估計

1. 變量分布類型確(que)定(ding)

  采用(yong)S-R模(mo)型(xing)(xing)分(fen)析應力(li)腐(fu)蝕(shi)失效概(gai)率時，第一步是確定應力(li)腐(fu)蝕(shi)的(de)“推動力(li)”，即(ji)S所包(bao)含的(de)參(can)數，包(bao)括溫(wen)度、侵蝕(shi)性離子濃度、pH值等(deng)，分(fen)析各參(can)數的(de)分(fen)布(bu)概(gai)型(xing)(xing)。在進(jin)行參(can)數的(de)概(gai)率分(fen)布(bu)類(lei)型(xing)(xing)研究中，一般經過以(yi)下步驟(zou)：①. 假設隨機變(bian)量(liang)服(fu)從某一分(fen)布(bu)；②. 在假設分(fen)布(bu)基礎上構建(jian)統(tong)計量(liang)；③. 根據統(tong)計量(liang)的(de)分(fen)布(bu)做(zuo)出(chu)統(tong)計推斷，進(jin)行擬合檢驗；④. 選(xuan)擇(ze)最優概(gai)型(xing)(xing)。常用(yong)的(de)統(tong)計量(liang)包(bao)括均(jun)值、標準差、極(ji)差、變(bian)異系數、偏度等(deng)。正態分(fen)布(bu)、威(wei)布(bu)爾（Weibull)分(fen)布(bu)、指(zhi)數分(fen)布(bu)以(yi)及Poisson分(fen)布(bu)等(deng)都是應力(li)腐(fu)蝕(shi)概(gai)率分(fen)析中經常用(yong)到的(de)隨機變(bian)量(liang)的(de)概(gai)率分(fen)布(bu)類(lei)型(xing)(xing)。

通(tong)常，直接計(ji)算概(gai)率(lv)的(de)密度(du)函數難度(du)非常大，常用的(de)處理方法是(shi)把概(gai)率(lv)密度(du)估計(ji)轉化為參數估計(ji)問題。因此概(gai)率(lv)密度(du)函數的(de)確(que)(que)定是(shi)關鍵，正確(que)(que)的(de)密度(du)函數是(shi)獲得準確(que)(que)估計(ji)值(zhi)的(de)重要前提。

2. 參數的估(gu)計和假設檢驗

由于(yu)正(zheng)(zheng)態分(fen)布情況發(fa)生(sheng)的(de)(de)比較多，因此，以正(zheng)(zheng)態分(fen)布為例加(jia)以說明。參數(shu)估(gu)(gu)計的(de)(de)思路是采用(yong)(yong)樣本統計量估(gu)(gu)計總體參數(shu)。常用(yong)(yong)的(de)(de)參數(shu)估(gu)(gu)計方(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)有(you)矩估(gu)(gu)計法(fa)(fa)(fa)和最(zui)大（極(ji)大）似然法(fa)(fa)(fa)，除此之外，還有(you)最(zui)小二乘、貝葉斯估(gu)(gu)計等方(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)。矩估(gu)(gu)計法(fa)(fa)(fa)不受變(bian)(bian)量分(fen)布的(de)(de)影響(xiang)，這(zhe)也恰恰成為該方(fang)(fang)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)缺點(dian)(dian)，即變(bian)(bian)量的(de)(de)分(fen)布信(xin)息不能(neng)被(bei)充分(fen)利用(yong)(yong)，一(yi)般具有(you)多個分(fen)析結(jie)果(guo)。與矩估(gu)(gu)計法(fa)(fa)(fa)相反，最(zui)大似然法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)使用(yong)(yong)受已(yi)知變(bian)(bian)量概(gai)(gai)型的(de)(de)影響(xiang)，必(bi)須(xu)在已(yi)知概(gai)(gai)型的(de)(de)前(qian)提下(xia)才能(neng)使用(yong)(yong)，而且(qie)假設(she)的(de)(de)概(gai)(gai)率(lv)模(mo)型正(zheng)(zheng)確性對參數(shu)估(gu)(gu)計結(jie)果(guo)影響(xiang)很大。最(zui)大似然估(gu)(gu)計法(fa)(fa)(fa)具有(you)計算簡單、收斂型好(hao)等特點(dian)(dian)，在參數(shu)估(gu)(gu)計中的(de)(de)應用(yong)(yong)更加(jia)廣泛，其主要計算步驟如(ru)下(xia)：

  式（6-10)稱為似(si)然(ran)方程組，求(qiu)解該方程組，得出均值、方差最大(da)似(si)然(ran)估計值

  以上過程(cheng)是(shi)參數(shu)估計(ji)(ji)，下(xia)面對參數(shu)假設檢驗(yan)。與參數(shu)估計(ji)(ji)的(de)(de)目的(de)(de)相同，參數(shu)假設檢驗(yan)也是(shi)根據樣本信息對總體的(de)(de)數(shu)量(liang)特征進行(xing)推斷。

  假(jia)設(she)(she)(she)檢(jian)驗是以樣本資(zi)料對總體的(de)先驗假(jia)設(she)(she)(she)是否成立(li)，根據樣本的(de)統計量(liang)檢(jian)驗假(jia)設(she)(she)(she)的(de)總體參數(shu)的(de)可靠度，同時做出(chu)判斷(duan)結果(guo)(guo)，判斷(duan)結果(guo)(guo)包括(kuo)接受和拒(ju)絕。分析過程是：①. 提(ti)出(chu)原假(jia)設(she)(she)(she)（要求檢(jian)驗的(de)假(jia)設(she)(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)設(she)(she)(she)（如果(guo)(guo)原假(jia)設(she)(she)(she)不成立(li)，就(jiu)要接受另(ling)一個(ge)假(jia)設(she)(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)檢(jian)驗統計量(liang)；③. 計算觀測值(zhi)；④. 確定顯著性水平；⑤. 依據檢(jian)驗統計量(liang)觀測值(zhi)的(de)位置(zhi)給出(chu)判斷(duan)結果(guo)(guo)。

在以(yi)上分析過程中(zhong)，可能會犯(fan)兩類錯(cuo)誤(wu)：當H0為真時而(er)拒絕H0,稱為第(di)一(yi)(yi)類錯(cuo)誤(wu)；當H0為假時而(er)接受H0,稱為第(di)二類錯(cuo)誤(wu)。犯(fan)兩類錯(cuo)誤(wu)的概率(lv)通常是(shi)矛盾的：一(yi)(yi)個(ge)概率(lv)小(xiao)了另一(yi)(yi)個(ge)概率(lv)就大(da)。在實際使(shi)用中(zhong)，我們一(yi)(yi)般限定犯(fan)第(di)一(yi)(yi)類錯(cuo)誤(wu)的概率(lv)不超過給定的α,使(shi)犯(fan)第(di)二類錯(cuo)誤(wu)的概率(lv)就可能小(xiao)。在正(zheng)態總(zong)體參(can)數的假設檢驗中(zhong)，主(zhu)要包(bao)括均(jun)值(zhi)的U檢驗和t檢驗、方差的χ2檢驗等。

3. 分布(bu)的假設檢驗

  上一小(xiao)節介紹(shao)的(de)是(shi)在(zai)總體(ti)分(fen)布(bu)(bu)已知(zhi)的(de)情況下，對分(fen)布(bu)(bu)中的(de)一些未知(zhi)參數進行(xing)檢(jian)驗(yan)(yan)。但是(shi)，很多時候并不知(zhi)道總體(ti)的(de)分(fen)布(bu)(bu)規(gui)律(lv)，我(wo)們(men)往(wang)往(wang)是(shi)根據樣(yang)本(ben)來假設(she)總體(ti)的(de)分(fen)布(bu)(bu)類型，因此，對于總體(ti)樣(yang)本(ben)所假設(she)的(de)分(fen)布(bu)(bu)是(shi)否正確，還(huan)需要檢(jian)驗(yan)(yan)，常用的(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)驗(yan)(yan)方(fang)法，其中χ2檢(jian)驗(yan)(yan)應用較多，下面以(yi)這種方(fang)法為例，介紹(shao)檢(jian)驗(yan)(yan)過程。

  χ2檢驗法的分析過程是(shi)：①. 提(ti)出(chu)原(yuan)假設(she)；②. 檢驗假設(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)干個(ge)互不相交的小區間把樣本數(shu)據(ju)(ju)進(jin)行分組，通(tong)常(chang)每(mei)個(ge)區間的數(shu)據(ju)(ju)不少于5個(ge)，若(ruo)不滿(man)足(zu)這一要求，可以通(tong)過合(he)并(bing)區間來(lai)達到這一要求。假設(she)H0成立，根(gen)據(ju)(ju)分組結(jie)果計算χ2檢驗統(tong)計量

4. 主要參數的概(gai)率分布(bu)

 根據(ju)以上分析步驟，對應力腐蝕(shi)環境(jing)中的離子濃度的統(tong)計(ji)性進行分析。數據(ju)來自某(mou)石化企業的監測數據(ju)。頻率直方圖(tu)要將樣本值分為r個不(bu)相交(jiao)的區間(jian)，r值可(ke)由 Sturges公式確(que)定，并取整數。r值取決于樣本數n。

  首(shou)先，假設各參數服從正態分(fen)布(bu)，并畫出正態分(fen)布(bu)的(de)密度函數曲線(xian)，該計算采用matlab編程完成，計算結果如圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離子濃(nong)度和硫(liu)酸(suan)根離子濃(nong)度滿(man)足正態(tai)分布(bu)，而亞(ya)硫(liu)酸(suan)根離子濃(nong)度不滿(man)足正態(tai)分布(bu)，經過分析，認為滿(man)足威布(bu)爾分布(bu)，如圖6-4所(suo)示。

  經過卡方檢驗(yan)，在顯著性水平0.05下(xia)，可以認為(wei)：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸(suan)根離子濃(nong)度服從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子(zi)濃(nong)度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃(nong)度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布(bu)爾(er)分(fen)布(bu)。

  亞硫酸(suan)根離子(zi)(zi)濃度服從威布爾分布的原因：亞硫酸(suan)根不(bu)穩定，與(yu)氫離子(zi)(zi)反應，從而(er)濃度逐漸減(jian)小(xiao)。

三、失效概率計算方法

1. 解析法

  當應力和強度是(shi)比較簡(jian)單的變(bian)量時，式（6-4)可(ke)以直接(jie)計(ji)算失效概率。在一些研究中(zhong)，會出現“干涉面積(ji)＝失效概率”的說法，這種(zhong)說法是(shi)不(bu)正(zheng)確的。根據可(ke)靠(kao)性理論可(ke)知，應力－強度模型(xing)中(zhong)強度大于應力的概率即為可(ke)靠(kao)度。可(ke)靠(kao)度P可(ke)根據下式計(ji)算

  從(cong)計(ji)算結果可(ke)以(yi)看(kan)出，失效概率(lv)遠小于干(gan)涉面(mian)積之和。

2. 數值解析法(fa)

  當(dang)隨機(ji)變(bian)量較(jiao)多時，直接求(qiu)解失效概(gai)率值(zhi)是(shi)(shi)很困難(nan)的(de)(de)(de)，采用數值(zhi)求(qiu)解是(shi)(shi)一種比較(jiao)好的(de)(de)(de)解決方(fang)法(fa)。在(zai)(zai)應力腐蝕概(gai)率計算中，涉及(ji)的(de)(de)(de)隨機(ji)變(bian)量較(jiao)多且具有(you)不(bu)同(tong)的(de)(de)(de)分(fen)布類型，結果(guo)難(nan)以用解析法(fa)和近似法(fa)求(qiu)解，可以采用蒙特卡洛（Monte-Carlo)模(mo)擬法(fa)。Monte-Carlo模(mo)擬法(fa)的(de)(de)(de)特點是(shi)(shi)：①. 受(shou)研究(jiu)問題維數的(de)(de)(de)影響較(jiao)小；②. 不(bu)受(shou)假設約束；③. 不(bu)存在(zai)(zai)狀態空間爆炸問題；④. 不(bu)受(shou)變(bian)量數量的(de)(de)(de)影響。因此，Monte-Carlo法(fa)是(shi)(shi)一種處理高維動態失效概(gai)率問題的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)。

  蒙特卡洛模(mo)擬法(fa)又稱為隨機模(mo)擬法(fa)，基本思(si)想是：