隨機變量模型和隨機過程模型是研究香蕉視頻app連接:應力腐蝕概(gai)率的常用模型(xing)，本(ben)章重點介紹隨機變量模型(xing)。

一、應(ying)力-強度干(gan)涉(she)模型(xing)

 1942年，Pugsley提出了(le)采用應力(li)(li)、強度(du)(du)分布(bu)函數曲線的干涉區面積分析失效概率的方法(fa)，即(ji)應力(li)(li)－強度(du)(du)干涉模(mo)型(xing)(xing)，該模(mo)型(xing)(xing)在構件和(he)系(xi)統的可靠性分析中(zhong)得到(dao)了(le)廣泛應用。目(mu)前，已成為分析構件和(he)系(xi)統失效概率的重(zhong)要模(mo)型(xing)(xing)之一。在結(jie)構可靠性分析中(zhong)，應力(li)(li)－強度(du)(du)（S-R)干涉模(mo)型(xing)(xing)應用最廣，模(mo)型(xing)(xing)中(zhong)的S和(he)R的含義不(bu)僅(jin)僅(jin)是力(li)(li)學分析中(zhong)的應力(li)(li)和(he)強度(du)(du)，二者具有更(geng)廣泛的范疇。對于(yu)一個系(xi)統而言，S指的是造成結(jie)構破壞的所(suo)有因素(su)，即(ji)推動(dong)力(li)(li)；R代(dai)表了(le)結(jie)構抵抗(kang)破壞的能力(li)(li)，即(ji)阻抗(kang)力(li)(li)。

  應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)(lie)是(shi)一種低(di)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)脆(cui)斷(duan)，是(shi)斷(duan)裂(lie)(lie)和腐(fu)(fu)蝕(shi)兩種機理相互(hu)影響的(de)(de)(de)(de)結(jie)果。因此(ci)，當應(ying)(ying)力(li)(li)(li)還遠(yuan)低(di)于斷(duan)裂(lie)(lie)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)時就能(neng)引起(qi)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)裂(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)產生(sheng)和擴(kuo)展。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)作用降低(di)了(le)材(cai)料(liao)(liao)的(de)(de)(de)(de)耐腐(fu)(fu)蝕(shi)性(xing)能(neng)，而(er)腐(fu)(fu)蝕(shi)降低(di)了(le)材(cai)料(liao)(liao)的(de)(de)(de)(de)斷(duan)裂(lie)(lie)強(qiang)度，兩者是(shi)互(hu)相促進(jin)的(de)(de)(de)(de)。也就是(shi)說，機械力(li)(li)(li)和化(hua)學力(li)(li)(li)的(de)(de)(de)(de)協同作用導致了(le)裂(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)擴(kuo)展，如(ru)果只有(you)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)或腐(fu)(fu)蝕(shi)單(dan)獨作用，是(shi)不(bu)會出現(xian)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)結(jie)果。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)(lie)要經過(guo)一定的(de)(de)(de)(de)時間才能(neng)發生(sheng)，這是(shi)因為能(neng)量積蓄(xu)到使材(cai)料(liao)(liao)破(po)壞(huai)的(de)(de)(de)(de)程(cheng)度是(shi)需要時間的(de)(de)(de)(de)，應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)是(shi)使材(cai)料(liao)(liao)強(qiang)度逐漸退化(hua)的(de)(de)(de)(de)過(guo)程(cheng)，因此(ci)，我(wo)們可以(yi)采用耐久性(xing)損傷(shang)模(mo)型來描述應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)失效(xiao)的(de)(de)(de)(de)物理過(guo)程(cheng)。由S-R干涉模(mo)型的(de)(de)(de)(de)理論可以(yi)寫出結(jie)構的(de)(de)(de)(de)極限狀態方(fang)程(cheng)

  因此，對于(yu)失效概率(lv)(lv)的研究就轉化為對強度和(he)應(ying)力由于(yu)概率(lv)(lv)分布干涉引起的狀態失效問(wen)題的研究。當fs(s)和(he)fR(r)分別表示(shi)應(ying)力和(he)強度的概率(lv)(lv)密度函數(shu)時，圖(tu)中兩者重疊部分面積反映了(le)失效概率(lv)(lv)的大小(xiao)，如(ru)圖(tu)6-1所(suo)示(shi)。

  假(jia)如(ru)最(zui)初(chu)應(ying)力(li)與(yu)(yu)強(qiang)度(du)是留(liu)有充分(fen)(fen)的(de)安全(quan)余(yu)量的(de)，那(nei)么經(jing)過一定時(shi)間(jian)后(hou)，隨(sui)著應(ying)力(li)分(fen)(fen)布(bu)與(yu)(yu)強(qiang)度(du)分(fen)(fen)布(bu)的(de)交疊，就有失效(xiao)發生，這種情(qing)(qing)形可以(yi)(yi)說是耐久模型(xing)(xing)的(de)典型(xing)(xing)例子。根據應(ying)力(li)－強(qiang)度(du)干(gan)涉模型(xing)(xing)不但能夠求(qiu)解應(ying)力(li)腐蝕失效(xiao)概(gai)率(lv)(lv)，還可以(yi)(yi)分(fen)(fen)析應(ying)力(li)腐蝕不同(tong)階(jie)段的(de)概(gai)率(lv)(lv)情(qing)(qing)況，如(ru)裂紋的(de)萌生概(gai)率(lv)(lv)、裂紋的(de)擴展(zhan)概(gai)率(lv)(lv)等。

  當材(cai)料(liao)發(fa)生腐(fu)蝕(shi)后，隨著時(shi)(shi)間(jian)(jian)的(de)推移，材(cai)料(liao)抵抗(kang)破壞的(de)能力降(jiang)(jiang)低，而(er)腐(fu)蝕(shi)環境很可(ke)能變(bian)(bian)(bian)得更加(jia)苛刻。例如(ru)應(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)，隨著裂紋(wen)的(de)擴(kuo)展，材(cai)料(liao)強(qiang)度(du)(du)降(jiang)(jiang)低、裂紋(wen)尖端(duan)應(ying)(ying)力集中區域(yu)增大，局部存在侵蝕(shi)性離子的(de)富集，使得廣義應(ying)(ying)力變(bian)(bian)(bian)大而(er)強(qiang)度(du)(du)降(jiang)(jiang)低，此時(shi)(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)(shi)間(jian)(jian)有關的(de)變(bian)(bian)(bian)量，很顯然，概率(lv)密度(du)(du)函數也(ye)著時(shi)(shi)間(jian)(jian)的(de)變(bian)(bian)(bian)化(hua)而(er)變(bian)(bian)(bian)化(hua)。當強(qiang)度(du)(du)隨時(shi)(shi)間(jian)(jian)發(fa)生衰退時(shi)(shi)，強(qiang)度(du)(du)和(he)應(ying)(ying)力組成的(de)干(gan)涉區域(yu)隨時(shi)(shi)間(jian)(jian)變(bian)(bian)(bian)化(hua)會越(yue)來越(yue)大，這意味著產品可(ke)靠性在降(jiang)(jiang)低。

  大(da)多數(shu)(shu)參(can)數(shu)(shu)的(de)不確定性與時間有關。發生應(ying)力腐蝕時，構件所受(shou)的(de)廣義應(ying)力一(yi)般(ban)是隨機(ji)過程，應(ying)力稱為時間的(de)函(han)數(shu)(shu)，強度為一(yi)固定的(de)臨界值，如圖6-2所示，功能函(han)數(shu)(shu)應(ying)表示為

二、應力腐蝕參數的概率分布(bu)估計

1. 變量分布類型確定(ding)

  采(cai)用(yong)S-R模型分(fen)(fen)析(xi)(xi)應力腐(fu)蝕(shi)(shi)失(shi)效(xiao)概(gai)率時，第一步是(shi)確定(ding)應力腐(fu)蝕(shi)(shi)的“推動力”，即S所包(bao)(bao)含的參(can)(can)數(shu)(shu)，包(bao)(bao)括(kuo)溫度、侵蝕(shi)(shi)性離子(zi)濃度、pH值(zhi)等，分(fen)(fen)析(xi)(xi)各參(can)(can)數(shu)(shu)的分(fen)(fen)布(bu)(bu)概(gai)型。在進行(xing)參(can)(can)數(shu)(shu)的概(gai)率分(fen)(fen)布(bu)(bu)類(lei)型研究(jiu)中(zhong)，一般(ban)經過(guo)以(yi)(yi)下步驟(zou)：①. 假設(she)隨機變(bian)(bian)量服從某一分(fen)(fen)布(bu)(bu)；②. 在假設(she)分(fen)(fen)布(bu)(bu)基(ji)礎上構(gou)建統計量；③. 根據統計量的分(fen)(fen)布(bu)(bu)做出統計推斷，進行(xing)擬合(he)檢驗；④. 選(xuan)擇(ze)最優(you)概(gai)型。常(chang)用(yong)的統計量包(bao)(bao)括(kuo)均(jun)值(zhi)、標準(zhun)差、極差、變(bian)(bian)異系數(shu)(shu)、偏度等。正態分(fen)(fen)布(bu)(bu)、威布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)布(bu)(bu)、指數(shu)(shu)分(fen)(fen)布(bu)(bu)以(yi)(yi)及Poisson分(fen)(fen)布(bu)(bu)等都是(shi)應力腐(fu)蝕(shi)(shi)概(gai)率分(fen)(fen)析(xi)(xi)中(zhong)經常(chang)用(yong)到的隨機變(bian)(bian)量的概(gai)率分(fen)(fen)布(bu)(bu)類(lei)型。

通常(chang)，直接計算概(gai)率(lv)的(de)(de)密(mi)度(du)(du)函(han)數(shu)難(nan)度(du)(du)非常(chang)大(da)，常(chang)用(yong)的(de)(de)處理(li)方法(fa)是把概(gai)率(lv)密(mi)度(du)(du)估計轉化(hua)為參數(shu)估計問題。因此概(gai)率(lv)密(mi)度(du)(du)函(han)數(shu)的(de)(de)確(que)定是關鍵，正確(que)的(de)(de)密(mi)度(du)(du)函(han)數(shu)是獲得準確(que)估計值的(de)(de)重要(yao)前提。

2. 參(can)數的估計和假(jia)設檢驗

由于正態分(fen)布情況發生的(de)(de)(de)比較多(duo)，因此，以(yi)正態分(fen)布為(wei)例加以(yi)說明。參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路是采用(yong)樣本統計(ji)(ji)(ji)量(liang)(liang)估(gu)計(ji)(ji)(ji)總(zong)體參(can)(can)數(shu)。常用(yong)的(de)(de)(de)參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)(fa)(fa)有(you)矩估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)和最大（極大）似然法(fa)(fa)(fa)(fa)，除此之外(wai)，還有(you)最小二乘、貝葉斯(si)估(gu)計(ji)(ji)(ji)等方法(fa)(fa)(fa)(fa)。矩估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)不受變(bian)量(liang)(liang)分(fen)布的(de)(de)(de)影響，這也(ye)恰恰成為(wei)該方法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)缺點，即變(bian)量(liang)(liang)的(de)(de)(de)分(fen)布信息不能被充分(fen)利用(yong)，一般具有(you)多(duo)個(ge)分(fen)析結果(guo)。與矩估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)相反，最大似然法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)使用(yong)受已(yi)(yi)知變(bian)量(liang)(liang)概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)影響，必須在已(yi)(yi)知概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)前提下才能使用(yong)，而(er)且(qie)假設的(de)(de)(de)概(gai)率模型(xing)正確性(xing)對參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)結果(guo)影響很大。最大似然估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)具有(you)計(ji)(ji)(ji)算簡單、收斂(lian)型(xing)好等特(te)點，在參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)應用(yong)更加廣(guang)泛，其主要(yao)計(ji)(ji)(ji)算步(bu)驟如下：

  式(shi)（6-10)稱為似然方程(cheng)組，求解該方程(cheng)組，得出均值(zhi)、方差最(zui)大似然估計(ji)值(zhi)

  以(yi)上過(guo)程是參(can)數估計，下面對參(can)數假(jia)設檢驗。與參(can)數估計的目(mu)的相同，參(can)數假(jia)設檢驗也(ye)是根據(ju)樣(yang)本信息(xi)對總體(ti)的數量特(te)征進行推斷(duan)。

  假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)檢驗(yan)是以(yi)樣(yang)本資料對(dui)總(zong)體的(de)(de)先驗(yan)假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)是否成立(li)，根(gen)據樣(yang)本的(de)(de)統計量檢驗(yan)假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)的(de)(de)總(zong)體參數的(de)(de)可靠(kao)度，同時做(zuo)出判斷結(jie)果，判斷結(jie)果包括(kuo)接受和(he)拒絕。分析(xi)過(guo)程是：①. 提出原假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)（要求檢驗(yan)的(de)(de)假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和(he)備(bei)選假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)（如果原假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)不(bu)成立(li)，就要接受另(ling)一個假(jia)(jia)(jia)(jia)(jia)設(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取(qu)恰(qia)當的(de)(de)檢驗(yan)統計量；③. 計算觀(guan)測(ce)值；④. 確定顯(xian)著性(xing)水平；⑤. 依據檢驗(yan)統計量觀(guan)測(ce)值的(de)(de)位(wei)置給出判斷結(jie)果。

在以上分析(xi)過程(cheng)中(zhong)，可能會犯(fan)兩類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)：當(dang)(dang)H0為(wei)真時而拒絕H0,稱(cheng)為(wei)第(di)一(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)；當(dang)(dang)H0為(wei)假時而接受H0,稱(cheng)為(wei)第(di)二類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)。犯(fan)兩類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)的(de)(de)概(gai)率通(tong)常是矛盾的(de)(de)：一(yi)個概(gai)率小(xiao)(xiao)了另(ling)一(yi)個概(gai)率就大。在實際(ji)使用中(zhong)，我們一(yi)般限定犯(fan)第(di)一(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)的(de)(de)概(gai)率不超過給定的(de)(de)α,使犯(fan)第(di)二類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)的(de)(de)概(gai)率就可能小(xiao)(xiao)。在正態總體參數的(de)(de)假設(she)檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)中(zhong)，主要包括均值的(de)(de)U檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)和t檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)、方差的(de)(de)χ2檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)等。

3. 分(fen)布的假設檢驗(yan)

  上(shang)一小節介紹的(de)(de)(de)是在總(zong)體分布已知的(de)(de)(de)情況(kuang)下，對分布中(zhong)的(de)(de)(de)一些(xie)未知參數進行(xing)檢驗。但是，很多時候并(bing)不知道總(zong)體的(de)(de)(de)分布規律，我們往往是根據樣本來假設(she)(she)總(zong)體的(de)(de)(de)分布類型，因此，對于總(zong)體樣本所(suo)假設(she)(she)的(de)(de)(de)分布是否(fou)正確，還需要檢驗，常用的(de)(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗方法(fa)，其中(zhong)χ2檢驗應用較多，下面以這種方法(fa)為例，介紹檢驗過程。

  χ2檢驗(yan)(yan)法(fa)的分(fen)析過程是：①. 提出原(yuan)假設(she)；②. 檢驗(yan)(yan)假設(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)(ruo)干個(ge)互不相交的小(xiao)區間把樣本數(shu)據進行分(fen)組，通常每個(ge)區間的數(shu)據不少(shao)于5個(ge)，若(ruo)(ruo)不滿(man)足這一要求，可(ke)以通過合并區間來達到這一要求。假設(she)H0成(cheng)立，根據分(fen)組結果計算χ2檢驗(yan)(yan)統計量

4. 主要(yao)參數的概率分(fen)布

 根據以上分(fen)析步(bu)驟，對(dui)應力(li)腐蝕環境(jing)中的離子(zi)濃(nong)度的統(tong)計性進行(xing)分(fen)析。數據來自(zi)某石(shi)化企(qi)業的監測數據。頻(pin)率直方圖要將(jiang)樣本值分(fen)為r個不相交的區間，r值可由(you) Sturges公式確定，并取整數。r值取決于(yu)樣本數n。

  首先，假設各參數(shu)服(fu)從(cong)正態分布(bu)，并畫出正態分布(bu)的密度函數(shu)曲線，該計(ji)算(suan)采用matlab編程(cheng)完成，計(ji)算(suan)結果如圖(tu)6-3所示。

  從圖6-3可(ke)以看出(chu)，pH、氯離子(zi)濃(nong)(nong)度(du)和(he)硫酸根離子(zi)濃(nong)(nong)度(du)滿足正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)(fen)布，而亞硫酸根離子(zi)濃(nong)(nong)度(du)不滿足正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)(fen)布，經過分(fen)(fen)(fen)析(xi)，認為滿足威布爾分(fen)(fen)(fen)布，如圖6-4所示。

  經過卡方檢驗，在顯著性水平(ping)0.05下，可以認為：

  溫(wen)度服(fu)從N(98.25,1.642);

  pH服(fu)從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從(cong)N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度(du)服從N(35.3481,17.57352);

  亞(ya)硫酸根離子濃(nong)度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數(shu)威(wei)布爾分布。

  亞(ya)硫酸(suan)根離子(zi)濃度服從(cong)威(wei)布(bu)爾分布(bu)的原因：亞(ya)硫酸(suan)根不(bu)穩定，與氫離子(zi)反(fan)應，從(cong)而濃度逐(zhu)漸(jian)減小。

三、失效(xiao)概率計算方法

1. 解析法

  當(dang)應(ying)力(li)和強度(du)是比(bi)較簡單的(de)變量時，式(shi)（6-4)可(ke)以直接計算失效概率(lv)。在一些研究中，會(hui)出現“干(gan)涉面(mian)積＝失效概率(lv)”的(de)說法(fa)，這種說法(fa)是不正確的(de)。根據(ju)可(ke)靠(kao)性理(li)論(lun)可(ke)知，應(ying)力(li)－強度(du)模型中強度(du)大于應(ying)力(li)的(de)概率(lv)即為可(ke)靠(kao)度(du)。可(ke)靠(kao)度(du)P可(ke)根據(ju)下式(shi)計算

  從計算結果(guo)可以看出，失效概率遠小于(yu)干涉(she)面積之和。

2. 數值(zhi)解析法

  當(dang)隨(sui)機變(bian)量(liang)較多時，直接求解(jie)失(shi)效概(gai)率(lv)值(zhi)是很困難的(de)(de)(de)，采用數值(zhi)求解(jie)是一種(zhong)(zhong)比較好的(de)(de)(de)解(jie)決方(fang)法(fa)(fa)。在應力腐(fu)蝕概(gai)率(lv)計算中，涉及的(de)(de)(de)隨(sui)機變(bian)量(liang)較多且(qie)具(ju)有不(bu)(bu)同的(de)(de)(de)分(fen)布類型，結果(guo)難以用解(jie)析法(fa)(fa)和(he)近似法(fa)(fa)求解(jie)，可以采用蒙特卡洛（Monte-Carlo)模(mo)擬法(fa)(fa)。Monte-Carlo模(mo)擬法(fa)(fa)的(de)(de)(de)特點是：①. 受(shou)研(yan)究問題(ti)(ti)維數的(de)(de)(de)影響較小；②. 不(bu)(bu)受(shou)假設約束；③. 不(bu)(bu)存在狀態空間爆(bao)炸問題(ti)(ti)；④. 不(bu)(bu)受(shou)變(bian)量(liang)數量(liang)的(de)(de)(de)影響。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)是一種(zhong)(zhong)處理高維動態失(shi)效概(gai)率(lv)問題(ti)(ti)的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)。

  蒙特卡洛模擬法又稱為隨機模擬法，基本思想是：